Encontre f'(x)

f(x) = [x^4 - sec(4x^2 - 2)]^(-4)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = x - 4  

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f x = x - 4

f ' x = - 4 x - 5

Como g x = x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 , ficamos com

f ' g x = - 4 x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 - 5

Agora para g ( x )

g x = x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2

g ' x = 4 x 3 + ( s e c 4 x 2 - 2 '

Vamos resolver essa derivada de s e c 4 x 2 - 2 com uma outra regra da cadeia

s e c 4 x 2 - 2 ' = u ' v x v ' x

u x = s e c x

u ' x = sec ⁡ x t g ( x )

u ' v x = sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g ( 4 x 2 - 2 )

v x = 4 x 2 - 2

v ' x = 8 x

s e c 4 x 2 - 2 ' = sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g ( 4 x 2 - 2 ) * 8 x

Passo 3

Maaas vamos lembrar que

g ' x = 4 x 3 + s e c 4 x 2 - 2 '

Então temos que

g ' x = 4 x 3 + 8 x sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g ( 4 x 2 - 2 )

E lembrando que

f ' g x = - 4 x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 - 5

Passo 4

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

f g x ' = - 4 x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 5 * 4 x 3 + 8 x sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g 4 x 2 - 2

f g x ' = - 4 4 x 3 + 8 x sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g 4 x 2 - 2 x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 5

Para tentar deixar a resposta menos feia, podemos deixar assim:

f g x ' = - 16 x ( 2 sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g 4 x 2 - 2 - x 2 ) x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 5

Resposta

f g x ' = - 16 x ( 2 sec ⁡ 4 x 2 - 2 t g 4 x 2 - 2 - x 2 ) x 4 - sec ⁡ 4 x 2 - 2 5

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