Enunciado

Encontre f .

f^' (t) = sec t (sec t + tan t) , - (pi)/(2) < t < (pi)/(2) , f ((pi)/(4)) = - 1

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada uma vez, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função multiplicando a expressão:

f^' (t) = sec t (sec t + tan t) = sec^2 t + sec t tan t

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função sec^2 x e de sec x tan x são da forma:

tan x

sec x

Agora é só aplicar:

f (t) = tan t + sec t + C

Passo 3

Por último é só vamos aplicar o ponto f ((pi)/(4)) = - 1 para achar o valor de C , vamos lá:

f (t) = tan t + sec t + C -> f ((pi)/(4)) = tan (pi)/(4) + sec (pi)/(4) + C = - 1 -> 1 + (1)/(cos (pi)/(4)) + C = - 1 ->

1 + (1)/((sqrt(2))/(2)) + C = - 1 -> 1 + (2)/(sqrt(2)) + C = - 1 -> C = - 1 - 1 - (2)/(sqrt(2)) -> C = - 2 - (2)/(sqrt(2)) * (sqrt(2))/(sqrt(2)) ->

C = - 2 - (2 sqrt(2))/(2) = - 2 - sqrt(2)

Substituindo o valor de C na expressão:

f (t) = tan t + sec t + C = tan t + sec t - 2 - sqrt(2)

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (t) = tan t + sec t - 2 - sqrt(2)

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b)int e^(- x) d x
e) ∫ s e n5 xd x
d) ∫ cos ⁡ 3 xd x
c) ∫ ( x + 3 e x )d x
3- Calcule.a) ∫ e 2 xd x