Enunciado

Encontre f .

f^(' ' ') (t) = 12 + sen t

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada três vezes, vamos lá!

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 , de c f (x) , de uma constante, de sen x e de cos x são da forma:

(x^(n + 1))/(n + 1)

c F (x)

c x

- cos x

sen x

Agora é só aplicar:

f^(' ') (t) = 12 t - cos t + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' ' (t) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f^' (t) = 12 (t^(1 + 1))/(1 + 1) - sen t + C t + D = (12 t^2)/(2) - sen t + C t + D = 6 t^2 - sen t + C t + D

Passo 4

Agora vamos fazer uma última vez, dessa vez aplicando em f^' (t) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f (t) = 6 (t^(2 + 1))/(2 + 1) + cos t + C (t^(1 + 1))/(1 + 1) + D t + E = (6 t^3)/(3) + cos t + (C t^2)/(2) + D t + E = 2 t^3 + cos t + (C t^2)/(2) + D t + E

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (t) = 2 t^3 + cos t + (C t^2)/(2) + D t + E

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m) int ((1)/(x) + e^x) d x , x0
l) int (s e n (3 x) + cos (5 x)) d x
i)int (e^x + e^(- x))/(2) d x
o)int cos (x)/(3)^() d x
j)int (1)/(e^(3 x)) d x