Enunciado

Avalie a integral indefinida como uma série infinita.

∫ sen ⁡ x x d x

Passo 1

Vamos lá! Nosso primeiro passo é escrever qual é a série que representa o nosso integrando. Somente após isto é que poderemos integrar esta série em si.

Então... vamos começar relembrando qual a série para a função f x = sen ⁡ x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema. Para isto, precisamos dividir a função sen ⁡ x por x . Portanto,

f x = sen ⁡ x x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! x

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 1 !

Pronto, conseguimos uma série que representa nosso integrando!

Passo 2

Nosso passo agora é integrar esta série. Como podemos integrar diretamente o termo dentro da série, temos:

∫ sen ⁡ x x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 1 ! d x

∫ sen ⁡ x x d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n + 1 !

Pronto! Conseguimos avaliar nossa integral como uma série indefinida!

Percebam que a gente poderia ter expandido a série, integrado termo a termo e só depois reescrito todos os termos através de um somatório só. Mas ai seria trabalho extra!

Resposta

∫ sen ⁡ x x d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n + 1 !

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