Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ?

f x = x e - x

Passo 1

Sabemos que

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Então, se substituirmos x por - x na série da exponencial

e - x = ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

Multiplicando por x temos a função f

f x = x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n !

= x - x 2 + x 3 2 ! - x 4 3 ! + …

Passo 2

Agora precisamos encontrar o raio de convergência e para isso vamos usar o teste da razão.

O coeficiente de cada termo vai ser

c n = - 1 n n !

Aplicanco o teste da razão

L = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! ⋅ n ! - 1 n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0

Ou seja, de fato essa série converge, já que L < 1 .

E o raio de convergência? Como R = 1 / L e L = 0 então o raio de convergência é 😉

Passo 3

O enunciado pede para traçarmos f e os primeiros polinômios de Taylor ( T n ) que são nada mais que você pegar a série somente até um certo termo, então os primeiros polinômios são

T 1 ( x ) = x

T 2 x = x - x 2

T 3 x = x - x 2 + x 3 2

T 4 x = x - x 2 + x 3 2 - x 4 6

E assim podemos continuar até onde quisermos.

Passo 4

Traçando f e os primeiros polinômios de Taylor

Podemos ver na esquerda do eixo y , não conseguimos ver muita diferença, mas na direita, a cada polinômio T n com n maior, o polinômio tende a se aproximar mais do valor da função.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n !

O raio de convergência é infinito

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