Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 41
Encontre a série de Maclaurin de (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e ?
Passo 1
Sabemos que
Então, se substituirmos por na série da exponencial
Multiplicando por temos a função
Passo 2
Agora precisamos encontrar o raio de convergência e para isso vamos usar o teste da razão.
O coeficiente de cada termo vai ser
Aplicanco o teste da razão
Ou seja, de fato essa série converge, já que .
E o raio de convergência? Como e então o raio de convergência é 😉
Passo 3
O enunciado pede para traçarmos e os primeiros polinômios de Taylor () que são nada mais que você pegar a série somente até um certo termo, então os primeiros polinômios são
E assim podemos continuar até onde quisermos.
Passo 4
Traçando e os primeiros polinômios de Taylor
Podemos ver na esquerda do eixo , não conseguimos ver muita diferença, mas na direita, a cada polinômio com maior, o polinômio tende a se aproximar mais do valor da função.
Resposta
O raio de convergência é infinito