Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = 1 - x - 2

A série de Maclaurin será dada por:

1 - x - 2 = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f 4 0 4 ! x 4 + …

= 1 + 2 x + 6 2 x 2 + 24 6 x 3 + 120 24 x 4 + …

= 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + 5 x 4 + …

Passo 2

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1 n + 1 x n = x lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 = x 1 = x

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

x < 1

E, consequentemente:

R = 1

Resposta

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

R = 1

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