Enunciado

Curva do floco de neve de Helga von Koch. A curva do floco de neve de Helga von Koch é uma curva de comprimento infinito que engloba uma região de área finita. Para entender a razão disso, imagine que a curva é gerada a partir de um triângulo equilátero cujos lados têm comprimento igual a 1 .

  1. Encontre o comprimento L n da n -ésima curva C n e mostre que lim n → ∞ ⁡ L n = ∞ .

Passo 1

Oi galera, vem comigo no passo a passo deste exercício! Neste exercício queremos encontrar o comprimento L n . Para isso, vamos entender como as curvas estão sendo formadas.

Primeiramente, sabemos do enunciado que o comprimento da primeira curva ( C 1 ) é dado por:

L 1 = 3

Na curva seguinte ( C 2 ), cada aresta do triângulo se transforma em quatro arestas de tamanho 1 / 3 , assim:

L 2 = 3 ∙ 3 4

Na terceira curva ( C 3 ), novamente, cada aresta se transforma em quatro arestas, no entanto o novo comprimento é 1 / 9 :

L 3 = 3 ∙ 4 3 2

Esse processo é repetido infinitamente, e conseguimos encontrar o comprimento da nossa curva C n :

L n = 3 ∙ 4 3 n - 1

Passo 2

Agora iremos mostrar que lim n → ∞ ⁡ L n = ∞ , sabemos que:

3 ∙ 4 3 n - 1 = 4 n - 1 3 n - 2

Ou seja:

lim n → ∞ ⁡ 4 n - 1 3 n - 2 = 4 ∞ 3 ∞

Porém este é um limite indeterminado, para resolver este limite iremos utilizar algumas regrinhas:

4 n - 1 3 n - 2 = 3 - n + 2 ∙ 4 n - 1 = exp ⁡ [ ln ⁡ ( 3 - n + 2 ∙ 4 n - 1 ) ]

Pela regra do logaritmo sabemos que:

ln ⁡ 3 - n + 2 ∙ 4 n - 1 = ln ⁡ ( 3 - n + 2 ) + ln ⁡ ( 4 n - 1 )                                                                                                        

= - n + 2 ∙ ln ⁡ 3 + ( n - 1 ) ∙ ln ⁡ 4

= - n ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 3 + n ln ⁡ 4 - ln ⁡ 4

Os termos que não têm n será retirado do nosso limite:

- n ln ⁡ 3 + n ln ⁡ 4 = n   ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3

Sendo assim, conseguimos chegar no seguinte:

lim n → ∞ ⁡ n   ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 ∙ lim n → ∞ ⁡ n = ∞

Então, de acordo com o enunciado, concluímos que:

lim n → ∞ ⁡ L n = lim n → ∞ ⁡ 3 ∙ 4 3 n - 1 = ∞

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

L n = 3 ∙ 4 3 n - 1 .

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