Enunciado

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f x = sen ⁡ x x ,     x ≠ 0 1 ,     x = 0

Passo 1

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas! Para isto, vamos trabalhar apenar com a parte diferente de 1.

Vamos começar relembrando qual a série para a função f x = sen ⁡ x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema. Para isto, precisamos dividir a função sen ⁡ x por x . Portanto,

f x = sen ⁡ x x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! x

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 1 !

Automaticamente, quando x → 0 o valor de f x → 1 . Portanto, chegamos à série de Maclaurin para a função f .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 1 !

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Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = e - x / 2
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = cos 2 ⁡ x
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = x ⋅ t g - 1 x
Avalie a integral indefinida como uma série infinita. ∫ sen ⁡ x x d x