Encontre

f(x+h)-f(x)/h

E

f(w) - f(x) / (w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f(x) = x^2 + 6x

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

f x + h - f ( x ) h

Onde f x = x 2 + 6 x .

Então, calculando f ( x + h ) :

f x + h = x + h 2 + 6 ( x + h )

x + h 2 é um produto notável que é igual a x 2 + 2 x h + h 2 , mas vou resolver com mais calma aqui:

f x + h = x + h x + h + 6 ( x + h )

Fazendo a multiplicação:

f x + h = ( x 2 + x h + x h + h 2 ) + 6 ( x + h )

f x + h = x 2 + 2 x h + h 2 + 6 x + 6 h

Substituindo na expressão que queremos:

f x + h - f ( x ) h = x 2 + 2 x h + h 2 + 6 x + 6 h - x 2 - 6 x h

Arrumando esse numerador:

f x + h - f ( x ) h = 2 x h + h 2 + 6 h h

Podemos colocar h em evidência:

f x + h - f ( x ) h = h ( 2 x + h + 6 ) h

E simplificar o h :

f x + h - f ( x ) h = 2 x + h + 6

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

f w - f ( x ) w - x

Vamos achar f w :

f w = w 2 + 6 w

Substituindo:

f w - f ( x ) w - x = w 2 + 6 w - x 2 - 6 x w - x

Arrumando o numerador:

f w - f ( x ) w - x = w 2 - x 2 + 6 w - 6 x w - x

Podemos colocar o 6 em evidência:

f w - f ( x ) w - x = w 2 - x 2 + 6 ( w - x ) w - x

Opa, podemos abrir o seguinte produto notável w 2 - x 2 = ( w - x ) ( w + x ) :

f w - f ( x ) w - x = ( w - x ) ( w + x ) + 6 ( w - x ) w - x

Colocando ( w - x ) em evidência:

f w - f ( x ) w - x = ( w - x ) ( w + x + 6 ) w - x

Assim, simplificamos o w - x :

f w - f ( x ) w - x = w + x + 6

Só isso!

Resposta

f x + h - f ( x ) h = 2 x + h + 6

E

f w - f ( x ) w - x = w + x + 6

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