Encontre

f(x+h)-f(x)/h

E

f(w) - f(x) / (w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f(x) = 1 / x^2

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

f x + h - f ( x ) h

Onde f x = 1 x 2 .

Então, calculando f ( x + h ) :

f x + h = 1 x + h 2

Substituindo na expressão que queremos:

f x + h - f ( x ) h = 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Fazendo o mmc:

f x + h - f ( x ) h = x 2 - x + h 2 x 2 x + h 2 h

Arrumando essa divisão:

f x + h - f ( x ) h = x 2 - x + h 2 x 2 h x + h 2

x + h 2 é um produto notável que é igual a x 2 + 2 x h + h 2

Arrumando o numerador:

f x + h - f x h = x 2 - ( x 2 + 2 x h + h 2 ) x 2 h x + h 2

f x + h - f x h = x 2 - x 2 - 2 x h - h 2 x 2 h x + h 2

f x + h - f x h = - 2 x h - h 2 x 2 h x + h 2

Colocando h em evidência:

f x + h - f x h = h ( - 2 x - h ) x 2 h x + h 2

Podemos simplificar o h :

f x + h - f x h = - 2 x - h x 2 x + h 2

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

f w - f ( x ) w - x

Vamos achar f w :

f w = 1 w 2

Substituindo:

f w - f ( x ) w - x = 1 w 2 - 1 x 2 w - x

Fazendo o mmc:

f w - f ( x ) w - x = x 2 - w 2 x 2 w 2 w - x

Arrumando essa divisão:

f w - f ( x ) w - x = x 2 - w 2 x 2 w 2 ( w - x )

Repare que temos o produto notável x 2 - w 2 = ( x - w ) ( x + w ) , então:

f w - f ( x ) w - x = ( x - w ) ( x + w ) x 2 w 2 ( w - x )

Repare que x - w = - ( w - x ) :

f w - f ( x ) w - x = - ( w - x ) ( x + w ) x 2 w 2 ( w - x )

Simplificando ( w - x ) :

f w - f ( x ) w - x = - ( x + w ) x 2 w 2

f w - f ( x ) w - x = - x - w x 2 w 2

Só isso!

Resposta

f x + h - f ( x ) h = - 2 x - h x 2 x + h 2

E

f w - f ( x ) w - x = - x - w x 2 w 2

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