Enunciado

Resolva as equações diferenciais nos Exercícios 9-22.

18-

d y d x = e 2 x - y e x + y

Passo 1

Aplicando as propriedades de exponenciais que vimos nas questões anteriores teremos:

d y d x = e 2 x × e - y e x × e y

Malandramente juntando as partes de x com as de x e as de y com y teremos:

d y d x = e 2 x - x × e - y - y

d y d x = e x × e - 2 y

Agora agrupando os valores que contém a mesma variável de tal modo que as parcelas diferenciais d x e d y estejam no numerador nós teremos:

d y e - 2 y = e x d x

e 2 y d y = e x d x

Passo 2

Integrando os dois lados teremos:

∫ e 2 y d y = ∫ e x d x

Na integral da esquerda nós teremos a seguinte substituição:

2 y = u

Logo teremos:

2 d y = d u

d u 2 = d y

O que nos daria:

1 2 ∫ e u d u = e x + c

e u 2 = e x + c

Como u = 2 y , vamos voltar ao nosso domínio original.

e 2 y = 2 e x + c

Passo 3

Isolando y nós teremos:

2 y = l n ⁡ ( 2 e x + c )

y = 1 2 l n ⁡ ( 2 e x + c )

Resposta

y = 1 2 l n ⁡ ( 2 e x + c )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. A contagem era 600 depois de duas horas e 75000 depois de oito horas.a) Qual a população inicial da cultura?b) Encontre
a) Se $500 são emprestados a 14 % de juros, calcule as quantidades devidas no final de dois anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) trimestralmente, (iii) mensalmente, (iv) diariamente,
Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de três horaz existem 8000 bactérias.a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depoi
a) Se $3000 são investidos a uma taxa de juros de 5 % , calcule o valor do investimento no final de cinco anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) semestralmente, (iii) mensalmente, (iv)
Resolva as equações diferenciais y ' + x e y = 0