Enunciado

Faça o gráfico da solução particular e de várias outras soluções. Que características essas soluções têm em comum?

4 y ' ' + 5 y ' + y = e x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

4 y ' ' + 5 y ' + y = 0

E supor uma solução do tipo:

y h x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

4 k 2 A e k x + 5 k A e k x + A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

4 k 2 + 5 k + 1 = 0

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 5 ) ± ( 5 ) 2 - 4.4 . 1 2.4 = - 5 ± 9 8 ∴ k 1 = - 1 4 ,   k 2 = - 1

Aqui temos duas raízes reais e distintas, então a solução complementar vai ser uma combinação linear de duas exponenciais:

y h x = c 1 e - x / 4 + c 2 e - x

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = e x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma função exponencial:

y p x = A e x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = A e x

y p ' ' x = A e x

Resgatando a equação diferencial integral temos:

4 y p ' ' + 5 y p ' + y p = e x

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

10 . A e x = e x

Reorganizando os termos temos:

10 A e x = e x

Assim:

A = 1 / 10

E a solução particular é:

y p x = 1 10 e x

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y ( x ) = c 1 e - x / 4 + c 2 e - x + 1 10 e x

Agora vamos ver um gráfico de várias soluções, mudando os coeficientes:

As soluções são compostas por curvas do tipo exponenciais e, com exceção da solução particular y p que se aproxima de 0 quando x → - ∞ , todas elas tendem a + ∞ ou - ∞ quando x → - ∞ .

No entanto, quando x → ± ∞ todas as soluções tendem assintoticamente para y p .

Vamos pra próxima?

Resposta

y ( x ) = c 1 e - x / 4 + c 2 e - x + 1 10 e x

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