Resolva a equação. (ẋ = dx/dt e ẍ = d^2x/dt^2)

b) x¨ + 5x˙ + 6x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 5 x ˙ + 6 x = 0 → λ 2 e λ t + 5 λ e λ t + 6 e λ t = e λ t λ 2 + 5 λ + 6 = 0

e λ t λ 2 + 5 λ + 6 = 0 → λ 2 + 5 λ + 6 = 0 → λ + 3 λ + 2 = 0 → λ 1 = - 3   e   λ 2 = - 2

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função e λ t λ 2 + 5 λ + 6 = 0 ), então se λ 1 ≠   λ 2 podemos afirmar que:

x t = A e λ 1 t + B e λ 2 t

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x t = A e - 3 t + B e - 2 t

Resposta

x t = A e - 3 t + B e - 2 t

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