Enunciado

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela

nas funções dos Exercícios 1-30

f ( x , y ) = 1 - x 2 + y 2 3

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de sela para a equação:

f ( x , y ) = 1 - x 2 + y 2 3

Acompanhe com atenção!

Passo 2

Uma vez que a função f pode ser derivada em todos os pontos, os valores extremos ocorrem apenas quando:

f x = 0  ou  f y = 0

Passo 3

Reescrevendo a equação obtém-se a expressão abaixo:

f ( x , y ) = 1 - x 2 + y 2 1 3

Passo 4

Portanto:

f x = - 1 3 x 2 + y 2 - 2 3 ( 2 x ) = - 2 x 3 x 2 + y 2 2 3 = 0

e

f y = 1 3 x 2 + y 2 - 2 3 ( 2 y ) = - 2 y 3 x 2 + y 2 2 3 = 0

Passo 5

Observe que não há solução para o sistema f x ( x , y ) = 0 ou f y ( x , y ) = 0 . Entretanto, devemos considerar também os pontos onde as derivadas parciais são indefinidas, e isto ocorre no ponto x = 0 e y = 0 , ou seja, o ponto crítico é ( 0,0 ) .

Passo 6

Note que as derivadas parciais são definidas em qualquer outro ponto que não seja o ( 0,0 ) . Por isso não podemos utilizar o teste da segunda derivada para avaliar se o ponto ( 0,0 ) realmente assume um valor extremo.

Passo 7

Porém, como a função f ( x , y ) = 1 - x 2 + y 2 3 é menor ou igual a 1 em qualquer ponto, menos no ponto ( 0,0 ) , onde f ( 0,0 ) = 1 , então conclui-se que o ponto ( 0,0 ) é um ponto de máximo.

Resposta

Resposta nos passos.

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Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.11-z = x e - x 2 - y 2
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