Enunciado

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela

nas funções dos Exercícios 1-30

f ( x , y ) = 1 x + x y + 1 y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de sela para a equação:

f ( x , y ) = 1 x + x y + 1 y

Passo 2

Note que uma vez que a função f pode ser derivada em todos os pontos, os valores extremos ocorrem apenas quando:

f x = 0  ou  f y = 0

Portanto:

f x ( x , y ) = - 1 x 2 + y = 0  e  f y ( x , y ) = - 1 y 2 + x = 0

Passo 3

Agora vamos isolar x na equação - 1 y 2 + x = 0 para encontrarmos os possíveis valores de y , assim:

- 1 y 2 + x = 0 x = 1 y 2

Passo 4

Agora substituimos 0 x encontrado na equação - 1 x 2 + y = 0 , para encontrarmos o valor de y , assim:

- 1 x 2 + y = 0 - 1 1 y 2 2 + y = 0   - y 2 + y = 0 y ( y - 1 ) = 0

Passo 5

Agora vamos resolver a equação y ( y - 1 ) = 0 Assim ou y = 0 ou y - 1 = 0 Porém não podemos substituirmos y = 0 na equação x = 1 y 2 , pois não existe divisão por zero.Portanto resolveremos apenas a equação y - 1 = 0

y - 1 = 0 y = 1

Passo 6

Agora substituindo y na equação x = 1 y 2

x = 1 y 2 x = 1 ( 1 ) 2 x = 1

Portanto o ponto ( 1,1 ) é o ponto onde a função f pode assumir um valor extremo.

Passo 7

Para avaliar se o ponto ( 1,1 ) realmente assume um valor extremo calcula-se as segundas derivadas parciais como se segue:

f ' ( x , y ) = 1 x + x y + 1 y f x ( x , y ) = - 1 x 2 + y f x x ( x , y ) = 2 x 3 f x x ( 1,1 ) = 2 ( 1 ) 3 f x x ( 1,1 ) = 2 f 2 ( x , y ) = 1 x + x y + 1 y f y ( x , y ) = - 1 y 2 + x f y y ( x , y ) = 2 y 3 f y y ( 1,1 ) = 2 ( 1 ) 3 f y y ( 1,1 ) = 2 f x ( x , y ) = 1 x + x y + 1 y f x ( x , y ) = - 1 x 2 + y f x y ( 1,1 ) = 1

Passo 8

Observe que o discriminante de f no ponto ( a , b ) = ( 1,1 ) é:

f x x f y y - f x y 2 = ( 2 ) × ( 2 ) - ( 1 ) 2 f x x f y y - f x y 2 = 3

Passo 9

Por fim como f x x f y y - f x y 2 > 0 e f x x > 0 , segundo o teorema 11, o ponto ( 1,1 ) é um ponto de minimo igual a f ( 1,1 ) = 3

Resposta

Resposta nos passos.

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