Enunciado

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas

r = sen ⁡ θ

r = sen ⁡ 2 θ

Passo 1

Quer dizer então que precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas.

Vamos olhar as duas curvas pras ver o que estamos buscando:

Pela figura, podemos perceber que existem três pontos de interseção entre as duas curvas. Vamos buscar esses pontos.

Igualando as curvas:

r = sen ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ

sen ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ ( 1 - 2 cos ⁡ θ ) = 0

E daí, temos que

sen ⁡ θ = 0

θ = 0   o u   π

Ou

1 - 2 cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3

E com isso, só encontramos dois pontos.

Mas aí, se você reparar, θ = π 3 está no primeiro quadrante e tem um ponto de interseção que tá no terceiro quadrante!

Nesse caso, devido a simetria do problema, podemos dizer que

cos ⁡ θ = - 1 2

Assim,

θ = 2 π 3

Passo 2

Agora que já encontramos os valores de θ para os quais as duas curvas se intersectam, vamos encontrar o valor de r também?

Assim a gente forma o ponto ( r ,   θ ) bonitinho e fecha logo a questão!

Para isso, é só substituir os valores de θ em uma das curvas, já que como é um ponto de inteseção, tanto faz a curva que vamos escolher, as duas vão dar o mesmo ponto!

Para θ = 0   o u   π :

r = sen ⁡ 0 = 0

Para θ = π 3 :

r = sen ⁡ π 3 = 3 2

Para θ = 2 π 3 :

r = sen ⁡ 2 π 3 = 3 2

Os pontos de interseção são portanto:

P 1 = 0 , 0   o u   ( 0 , π )

P 2 = 3 2 , π 3

P 3 = 3 2 , 2 π 3

Resposta

P 1 = 0,0   o u   ( 0 , π )

P 2 = 3 2 , π 3

P 3 = 3 2 , 2 π 3

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