Enunciado

Mostre que o vetor de p e r p a b = b - p r o j a b é ortogonal a a . (Esse vetor é chamado projeção ortogonal de b ).

Passo 1

Se o vetor p e r p a b é perpendicular ao vetor a , então significa que o produto escalar entre eles deve ser nulo.

Vamos tentar provar que isso é verdade então.

p e r p a b ∙ a = b - p r o j a b ∙ a

b . a - p r o j a b . a = b . a - a ∙ b a a a ∙ a = b . a - a ∙ b a 2 a ∙ a = b . a - a ∙ b a 2 a 2

Assim,

p e r p a b ∙ a = b . a - a ∙ b

E como a ordem não importa pro protudo escalar, temos que

p e r p a b ∙ a = 0

Ou seja, o produto escalar entre esses dois vetores deu nulo, logo, eles são perpenducilares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que o conjunto de todos os vetores do R n ortogonais a um dado vetor V = ( a 1 ,. . ., a n ) , W = { X = ( x 1 ,. . ., x n ) ∈ R n | X ⋅ V = 0 } é um subespaço de R n .
Mostre que se V é ortogonal a W , então V é ortogonal a α W , para todo escalar α .
Mostre que se W 1 ,. . .,W k são vetores não nulos ortogonais entre si e X = α 1 W 1 +. . .+ α k W k , então X = p r o j W 1 X +. . .+p r o j W k X .
Mostre que todo subespaço W de R n é o espaço solução de um sistema linear homogêneo. (Sugestão: seja { W 1 ,. . ., W k } uma base W ⊥ tome A = [ W 1. . .W k ] t .)
Mostre que o ângulo entre dois vetores não nulos X = ( x 1 ,. . .,x n ) e Y = ( y 1 ,. . .,y n ) de R n , que é definido como sendo o número real θ entre 0 e π tal que: c o s ( θ ) = X ⋅ Y | | X | | |