Enunciado

Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução:

F s = s s + 1 s 2 + 4

Passo 1

Antes de resolver o problema vamos relembrar o que é o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se existem G s = L g ( t ) e H s = L h ( t ) para s > a ≥ 0 , e

F s = G s H s = L f ( t )

Então

f t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

e h ( t ) é conhecida como a convolução de f ( t ) e g ( t ) .

Vamos então tentar separar a função F ( s ) em duas transformadas conhecidas G ( s ) e H ( s ) ; calcular as transformadas inversas de G ( s ) e H ( s ) para encontrar g ( t ) e h ( t ) ; no final, vamos aplicar o teorema de convolução para obter f ( t ) . Vamos lá???

Passo 2

A equação dada é:

F s = s s + 1 s 2 + 4

F s = 1 ( s + 1 ) x s ( s 2 + 4 )

F s = G s x H ( s )

Pela tabela 6.2.1 do livro:

Para G s = 1 s - a → g t = e a t e H s = s s 2 + a 2 → h t = cos ⁡ a t . Então, para o nosso problema:

G s = 1 s + 1 → a = - 1 → g t = e - t

H s = s ( s 2 + 4 ) → a = 2 → h t = cos ⁡ 2 t

Passo 3

Agora que encontramos g ( t ) e h ( t ) podemos aplicar o teorema sobre a convolução:

f t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

f t = ∫ 0 t e - ( t - τ ) cos ⁡ 2 τ d τ

f t = ∫ 0 t e - ( t ) e τ cos ⁡ 2 τ d τ

f t = e - ( t ) ∫ 0 t e τ cos ⁡ 2 τ d τ

Resposta

A transformada inversa da função dada é f t = e - ( t ) ∫ 0 t e τ cos ⁡ 2 τ d τ .

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