Enunciado

(a) Encontre o valor médio de f no intervalo dado.

(b) Encontre c tal que f m e d = f ( c ) .

(c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico de f.

f x = x ,           [ 0 ,   4 ]

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é?

Só vamos substituir:

f m e d = 1 4 - 0 ∫ 0 4 x 1 2 . d x

Resolvendo:

f m e d = 1 4 . x 1 2 + 1 1 2 + 1 | 4 0

f m e d = 1 4 . x 3 2 3 2 | 4 0 = 1 4 . 2 3 . x 3 2 | 4 0

f m e d = 1 6 . x 3 2 | 4 0

Aplicando o intervalo:

f m e d = 1 6 . 4 3 2 - 0 3 2

f m e d = 4 3 2 6 = 8 6 = 4 3

Já conseguimos a letra a! Bora pra b!

Passo 2

Na letra b queremos um valor c, tal que a função seja igual a 4 3 :

f c = f m e d = 4 3

Vamos substituir c na função dada:

c = 4 3

Vamos elevar ao quadrado para poder descobrir c:

c = 4 2 3 2 = 16 9

Passo 3

Vamos desenhar a função dada pelo problema durante o intervalo, com x indo de 0 até 4.

Qual a área abaixo do gráfico?

Basta integrarmos a função neste intervalo, não é?

A = ∫ 0 4 x 1 2 . d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 | 4 0 = 2 3 . x 3 2 | 4 0

A = 2 3 4 3 2 - 0 3 2 = 16 3

Agora só precisamos fazer um retângulo cuja área também é 3. Se a área de um retângulo é dada por:

A R = B × h = 16 3

Então, podemos fazer um desenho cuja:

h = 4 3

B = 4

Desenhando:

Resposta

  1. f m e d = 4 3 ;
  2. c = 16 9 ;
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o centroide da região mostrada, não por integração, mas por localização dos centroides dos retângulos e triângulos (do Exercício 39) e usando a aditividade dos momentos.
Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas no eixo x dos pontos de intersecção das curvas y = e x e y = 2 - x 2
Esboce a região delimitada entre as curvas e visualmente estime a localização do centroide. Em seguida, calcule as coordenadas do centroide. y = s e n x ,y = 0 , 0 ≤ x ≤ π
As massas pontuais m i estão localizadas no eixo x , conforme mostra a figura a seguir. Ache o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .
As massas pontuais m i estão localizadas no eixo x , conforme mostra a figura a seguir. Ache o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .