Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica.

x = y ,   x = 0 ,   y = 1

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que usar o método das cascas cilíndricas para obter o volume do solido gerado pela rotação das curvas

x = y ,     x = 0 ,     y = 1

Ao redor do eixo x .

Parece complicado?

O método das cascas cilíndricas é calculado quando a rotação é feita no eixo x pela equação

V = ∫ a b 2 π y f y d y

Veja só!

Passo 2

Nós temos os seguintes esboços, da região e casca típica:

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Como podemos ver no desenho, nossa função varia de 0 a 1 , então:

V = ∫ a b 2 π y f y d y

Se y varia entre 0 e 1 e f y = y , então

V = ∫ 0 1 2 π y x d y

V = 2 π ∫ 0 1 y 3 2 d y

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

V = 2 π 2 5 y 5 2 0 1

V = 4 π 5

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

V = 4 π 5

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Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva y = x 4 , a reta x= 1 e eixo x
Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 25 for rotacionada em torno do eixo y.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 32 em torno do eixo y.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 30 em torno da reta x = 2 .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo y e pela reta y = 6 em torno da reta x = 2 .