Enunciado

  1. Encontre o valor médio de f no intervalo dado.
  2. Encontre c tal que f m e d = f ( c ) .
  3. Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico de f .

f x = 1 x   ,       [ 1,3 ]

Passo 1

Bora fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x = 1 x   ,       [ 1,3 ]

E a primeira coisa que ele pede é que a gente encontre o valor médio no intervalo dado. Por definição o valor médio de uma função f em um certo intervalo [ a , b ] é dado por:

f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

Assim, podemos escrever que o valor médio para nossa função f x é dado por:

f x m e d = 1 3 - 1 ∫ 1 3 1 x d x

Resolvendo a equação anterior, temos que:

f x m e d = 1 2 ∫ 1 3 1 x d x = 1 2 [ ln ⁡ x ] 3 1 = 1 2 [ ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 ] = ln ⁡ 3 2

Lembre-se que :

∫ 1 x = ln ⁡ x + C

Passo 2

Agora queremos achar c tal que f m e d = f ( c ) . Para isso podemos substituir o valor médio obtido no passo anterior na função dada, assim temos que:

f c = f m e d = ln ⁡ 3 2

ln ⁡ 3 2 = 1 c

c = 2 ln ⁡ 3

Passo 3

Pra acabar a gente vai esboçar o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico de f .

Se a média é ln ⁡ 3 2 então o retângulo deve ter essa altura e o comprimento do intervalo de integração. Assim teremos:

Prontinho!

Resposta

  1. f m e d = ln ⁡ 3 2
  2. c = 2 ln ⁡ 3
  3. Gráfico acima.
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