Enunciado

A família de funções f t = C ( e - a t - e - b t ) , onde a , b e C são números positivos e b > a , tem sido usada para modelar a concentração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante t = 0 . Faça o gráfico de vários membros dessa família. O que eles têm em comum? Para valores fixos de C e a , descubra graficamente o que acontece à medida que b cresce. Use então o cálculo para demonstrar o que você descobriu.

Passo 1

Para f t = C ( e - a t - e - b t ) , C afeta o alongamento apenas verticalmente, então nós temos C = 1 .

Esboço de um gráfico:

Podemos notar que todo o gráfico passa através da origem, aproximando-se do eixo t conforme t aumenta, e se aproxima de menos infinito conforme t → - ∞ .

Passo 2

Depois, tomamos a = 2 , e produzimos a segunda figura:

Aqui, conforme b aumenta, a inclinação da tangente na origem aumenta e o valor máximo aumenta.

Passo 3

f ' t = 0 → b e - b t = 2 e - 2 t → b 2 = e b - 2 t → ln ⁡ b 2 = b - 2 t → t = t 1 = ln ⁡ b - ln ⁡ 2 b - 2

que decresce conforme b aumenta (o máximo está ficando próximo do eixo y ).

f t 1 = b - 2 2 2 b - 2 b 1 + 2 b - 2  

Nós podemos mostrar que esse valor aumenta conforme b aumenta considerando isso como uma função de b e colocando no gráfico sua derivada com respeito a b , que é sempre positiva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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