Enunciado

Faça gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de f ' e f ' ' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f x = 4 x 4 - 32 x 3 + 89 x 2 - 95 x + 29

Passo 1

O enunciado pede pra a gente informações importantes sobre o gráfico da função:

f x = 4 x 4 - 32 x 3 + 89 x 2 - 95 x + 29

E pra isso a gente vai desenhar os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de f ' e f ' ' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão! Bora lá então?!

Passo 2

Começando pelo gráfico de f ( x ) :

De cara a gente consegue identificar os pontos onde f x = 0 , sendo eles: ( 0,5 ; 0 ) e ( 1,6 ; 0 ) , pra identificarmos f ( 0 ) precisamos dar um zoom um pouco mais pra cima:

Passo 3

Agora vamos plotar a curva de y ' ( x ) :

f x = 4 x 4 - 32 x 3 + 89 x 2 - 95 x + 29

f ' x = 4 4 x 3 - 32 3 x 2 + 89 ( 2 ) x - 95

f ' x = 16 x 3 - 96 x 2 + 178 x - 95

Daqui a gente consegue estimar que para f ' < 0 , f é decrescente em ( - ∞ , 092 ) e ( 2,5 ; 2,58 ) e para f ' > 0 ,   f é crescente em 0,92 ; 2,5 e ( 2,58 ,   ∞ ) com mínimo local em x = 0,92   e     x = 2,58 e máximo local para x = 2,5 .

Passo 4

Por fim vamos pra segunda derivada:

f ' ' x = 16 2 x 2 - 96 2 x + 178

f ' ' x = 48 x 2 - 192 x + 178

f tem concavidade para cima para x = - ∞ ; 1,46 e 2,54 ; ∞ uma vez que nesses intervalos de x f ' ' > 0 . Para f ' ' < 0 , f tem concavidade para baixo em x = 1,46 ; 2,54 . Também podemos calcular os pontos de inflexão considerando o valores de x onde f ' ' ( x ) muda de sinal. Para isso fazemos:

f 1,46 = 2,54

f 1,46 = 3,99

Resposta

Do gráfico de f ' nós estimamos que para f ' < 0 , f é decrescente em ( - ∞ , 092 ) e ( 2,5 ; 2,58 ) e para f ' > 0 ,   f é crescente em 0,92 ; 2,5 e ( 2,58 ,   ∞ ) com mínimo local em x = 0,92   e     x = 2,58 e máximo local para x = 2,5 .

E do gráfico de f ' ' , nós estimamos que para f ' ' > 0 , f tem concavidade para cima em ( - ∞ ; 1,46 ) e ( 2,54 ; ∞ ) e para f ' ' < 0 , f tem concavidade para baixo em ( 1,46 ; 2,54 ) .

Existem pontos de inflexão em ( 1,46 ; - 1,40 ) e ( 2,54 ; 3,99 ) .

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