Enunciado

Encontre o valor médio de f na região D .

f (x , y) = x y , D é o t r i n â n g u l o c o m v é r t i c e s (0,0) , (1,0) e (1,3) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O valor médio de f é dado pela expressão:

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x

Onde:

A (D) = int_a^b int_c^d d y d x

Passo 2

Vamos encontrar as equações das retas que passam pelos vértices. De (0,0) para (1,0) , temos:

(x - 0)/(1 - 0) = (y - 0)/(0 - 0)

y = 0

De (1 , 0) para (1 , 3) , temos:

(x - 1)/(1 - 1) = (y - 0)/(3 - 0)

x - 1 = 0

x = 1

De (0 , 0) para (1,3) , temos:

(x - 0)/(1 - 0) = (y - 0)/(3 - 0)

y = 3 x

Portanto, podemos definir a região de integração como:

D = {(x , y) | 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 3 x}

Passo 3

Temos então que:

A (D) = int_a^b int_c^d d y d x = int_0^1 int_0^(3 x) d y d x

Resolvendo a integral de dentro, temos:

int_0^(3 x) d y = [y]_0^(3 x)

int_0^(3 x) d y = 3 x

Logo:

int_0^1 int_0^(3 x) d y d x = int_0^1 3 x d x

Resolvendo, temos:

int_0^1 3 x d x = [(3 x^2)/(2)]_0^1

int_0^1 3 x d x = (3)/(2)

Que quer dizer que:

A (D) = (3)/(2)

Passo 4

Agora, podemos encontrar o valor médio de f :

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x = (1)/((3)/(2)) ∬_D^() x y d y d x

(2)/(3) int_0^1 int_0^(3 x) x y d y d x

Resolvendo a integral de dentro, temos:

int_0^(3 x) x y d y = x [(y^2)/(2)]_0^(3 x)

int_0^(3 x) x y d y = (x (3 x)^2)/(2) = (9 x^3)/(2)

Portanto:

(2)/(3) int_0^1 int_0^(3 x) x y d y d x = (2)/(3) int_0^1 (9 x^3)/(2) d x

Resolvendo, temos:

(2)/(3) int_0^1 (9 x^3)/(2) d x = (2)/(3) ((9)/(2)) [(x^4)/(4)]_0^1

(2)/(3) int_0^1 (9 x^3)/(2) d x = (9)/(3) ((1)/(4))

(2)/(3) int_0^1 (9 x^3)/(2) d x = (9)/(12) = (3)/(4)

Portanto:

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x = (3)/(4)

Resposta

(1)/(A (D)) ∬_D^() f (x , y) d y d x = (3)/(4)

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