Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

∬ D 2 x + 3 y d A ,       D   é   o   r e t â n g u l o   0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A região será:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b

Aplicando o teorema de Fubini, temos:

∬ D 2 x + 3 y d A = ∫ 0 a ∫   0 b 2 x + 3 y d y d x

Passo 2

Resolvendoa integral de dentro, temos que:

∫   0 b 2 x + 3 y d y = 2 x y + 3 y 2 2 0 b

∫   0 b 2 x + 3 y d y = 2 b x + 3 b 2 2 - 0

Substituindo na integral temos:

∫ 0 a ∫   0 b 2 x + 3 y d y d x = ∫ 0 a 2 b x + 3 b 2 2 d x

Resolvendo, temos:

∫ 0 a 2 b x + 3 b 2 2 d x = b x 2 + 3 b 2 x 2 0 a

= a 2 b + 3 a b 2 2 - 0

∫ 0 a 2 b x + 3 b 2 2 d x = a 2 b + 3 a b 2 2

∬ D 2 x + 3 y d A = a 2 b + 3 a b 2 2

Resposta

∬ D 2 x + 3 y d A = a 2 b + 3 a b 2 2

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