Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A ,       D = - a , a × - b , b

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região D . Como ela é uma região retangular simétrica em alguma função impar dentro da nossa integral, o seu resultado será 0 .

Analisando as funções f x = a x 3 e g y = b y 3 , percebemos que elas são funções ímpares!! Logo, o resultado final da sua integração será 0 .

Sabendo disso, a integral da nossa questão pode ser reescrita por:

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A = ∬ D a 2 - x 2 d A

Passo 2

Para podermos resolver a questão, precisamos identificar que sólido é este que estamos trabalhando, para assim relacionar a integral com o seu volume. Se fizermos z = a 2 - x 2 , obtemos uma superfície cilíndrica!!

Este cilindro pode ser visualizado:

Portanto, o volume dele será dado pela área da base (que está no planp x z ) pela altura, que está ao longo do eixo y . Portanto:

V = A b a s e ⋅ A l t u r a

V = π a 2 2 ⋅ 2 b = π a 2 b

Desta forma, temos:

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A = π a 2 b

Resposta

∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A = π a 2 b

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