Enunciado

Encontre o valor médio de f na região D .

f x , y = x y ,

D é o triângulo com vértices 0,0 , ( 1,0 ) e ( 1,3 ) .

Passo 1

Precisamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em um intervalo:

M = 1 A ∬ D f x , y   d A

Assim, precisamos calcular a área A do domínio de integração e a integral da função neste domínio.

Passo 2

Neste caso, temos que o domínio de integração é o triângulo:

Assim, a integral pode ser escrita como

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 3 x x y   d y   d x

Portanto,

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 1 9 x 3 2   d x = 9 x 4 8 0 1 = 9 8

Passo 3

A área do domínio de integração é

A = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 3 = 3 2

Assim,

M = 1 3 / 2 ⋅ 9 8 = 2 3 ⋅ 9 8 = 3 4

Resposta

3 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 19-24, esboce a região de integração e calcule a integral. ∫ 0 ln ⁡ 8 ∫ 0 ln ⁡ y e x + y d xd y
Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ Rd A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.Limitada por y = 0 , x = 0 , y = 1
Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ Rd A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.Limitada por y = 3 - 2 x , y = x e
Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ Rd A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.Limitada por y = e - x , y = 1 e x
Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ Rd A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.Limitada por y = tg ⁡ x , x = 0 e