Enunciado

Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , y   d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Passo 1

A questão pede identificar que tipo de sistema de coordenadas é melhor para calcular a integral sobre a região dada e escrever a integral.

Como temos coroas circulares na região de integração, vamos usar as coordenadas polares.

Note que a região vai da circunferência de raio 3 até a circunferência de raio 6 , de modo que 3 ≤ r ≤ 6 .

Além disso, como a região só cobre o primeiro e quarto quadrantes, devemos ter - π 2 ≤ θ ≤ π 2 .

Passo 2

Assim, escrevendo a integral em coordenadas polares e lembrando do jacobiano:

∫ 3 6 ∫ - π / 2 π / 2 f r , θ   r   d θ   d r ,

onde f r , θ = f ( r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ ) .

Resposta

∫ 3 6 ∫ - π / 2 π / 2 f r , θ   r   d θ   d r

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Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do anel 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Uma esfera d raio a .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e o plano z = 7 no primeiro octante.
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro tanto do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64 .
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