Enunciado

Encontre d y / d x e d 2 y / d x 2 . Para quais valores de t   a curva é côncava para cima?

x = t 2 + 1   ,     y = e t - 1

Passo 1

Para encontrarmos d y / d x fazemos:

d y d x = d y d t d x d t = e t 2 t

Passo 2

Para encontrar e d 2 y / d x 2 derivamos novamente, temod que:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = 2 t e t - e t ⋅ 2 2 t 2 2 t = 2 e t ( t - 1 ) 2 t 3 = e t ( t - 1 ) 4 t 3

Passo 3

A curva é côncava quando

d 2 y d x 2 > 0

E isso acontece quando:

t < 0 ou t > 1

Resposta

d y d x = e t 2 t

d 2 y d x 2 = e t ( t - 1 ) 4 t 3

Para valores de

t < 0 ou t > 1

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