Enunciado

Encontre d y / d x e d 2 y / d x 2 . Para quais valores de t   a curva é côncava para cima?

x = t 2 + 1 ,   y = t 2 + t

Passo 1

Para encontrarmos d y / d x fazemos:

d y d x = d y d t d x d t = 2 t + 1 2 t = 2 t 2 t + 1 2 t

d y d x = 1 + 1 2 t

Passo 2

Para encontrar e d 2 y / d x 2 derivamos novamente, temod que:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 1 2 t 2 2 t = - 1 4 t 3

Passo 3

A curva é côncava quando

d 2 y d x 2 > 0

E isso acontece quando:

t < 0

Resposta

d y d x = 1 + 1 2 t

d 2 y d x 2 = - 1 4 t 3

Para valores de t < 0

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Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto extremo esquerdo na curva x = t 4 - t 2 , y = t + ln ⁡ t . Então use o cálculo para encontrar as coordenadas exatas.
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = s e n3 θ , θ = π / 6
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + cos ⁡ θ , θ = π / 6
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = ln ⁡ θ , θ = e