Enunciado

Encontre os valores críticos da função.

f (x) = root(3)(4 - x ²)

Passo 1

Opa! O enunciado nos dá a seguinte função:

f (x) = root(3)(4 - x ²)

Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que f^' (c) = 0 ou f^' (c) não existe. Ou seja, precisamos derivar zero e analisar o resultado!

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser derivar a função. Para isso vamos usar a regra da cadeia:

f (x) = root(3)(4 - x ²)

Assim temos:

f^' (x) = (d u)/(d x) (d y)/(d u)

Vamos escolher u :

u = 4 - x^2

(d u)/(d x) = - 2 x

Assim temos f ( u ) :

f (u) = root(3)(u)

Derivando:

(d y)/(d u) = (1)/(3) u^(- (2)/(3))

Substituindo na regra da cadeia:

f^' (x) = (- 2 x) ((1)/(3) u^(- (2)/(3)))

Agora a gente vai voltar com a variável x e dar uma arrumadinha:

f^' (x) = - (2 x)/(3) (4 - x^2)^(- (2)/(3))

f^' (x) = - (2 x)/(3 (4 - x^2)^(- (2)/(3)))

Pronto, agora que sabemos a derivada da nossa função, podemos descobrir qual o seu valor crítico.

Passo 3

Agora, vamos igualar nossa derivada a zero e encontrar os valores de x.

f^' (x) = - (2 x)/(3 (4 - x^2)^(- (2)/(3))) = 0

Temos f^' (0) = 0 em x = 0 e f^' (2) não existe, portanto esses são os números críticos da função!

Resposta

x = 0

x = 2

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