Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 12
Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?
Passo 1
A derivada primeira da curva é dada por
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Passo 2
Vamo começar pela derivada de :
Agora a derivada de :
Substituindo na fórmula
Passo 3
Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:
Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Já temos tudo, então agora é só substituir.
Passo 5
Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer
Esse numerador é sempre maior do que zero porque tem um termo ao quadrado somado com uma constante.
Então, essa derivada segunda vai ser maior do que zero quando o denominador for menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Assim,
Resposta
A concavidade da curva é para cima quando .