Enunciado

Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s) com auxílio de uma ferramenta gráfica.

x = cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t

y = sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t

( - 1,1 )

Passo 1

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t

d y d t = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t

Agora a derivada de x :

x = cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t

d x d t = - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ 2 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ 2 t

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( - 1,1 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t = - 1

y = sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t = 1

Das identidades trigonométricas podemos dizer que:

x = cos ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 1 = - 1 ⇒ x = 2 cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t = 0

Da primeira equação, tiramos que

cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + 1 = 0

Assim

cos ⁡ t = 0

t = π 2

Ou

2 cos ⁡ t + 1 = 0

cos ⁡ t = - 1 2

t = 4 π 3

Testando esses dois valores de t na segundo equação do sistema, vemos que a única que atende a y = 1 é quando t = π 2 .

Substituindo no vetor tangente, temos:

d y d x = cos ⁡ π 2 + 2 cos ⁡ 2 π 2 - sen ⁡ π 2 - 2 sen ⁡ 2 π 2 = 2

Passo 4

Assim, a equação da reta tangente no ponto ( - 1,1 ) fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 1 = 2 ( x + 1 )

y = 2 x + 3

Passo 5

Agora vamos traçar a curva e a nossa reta tangente no ponto ( - 1,1 ) .

Vamos usar a ajuda do Winplot, como a própria questão pede, pois esse tipo de curva não é nada fácil de desenhar na mão.

Mas em último caso, se estivermos no meio da floresta perdidos e sem pc, sempre podemos chutar vários valores para t e ir plotando vários pontos pra ver a cara que a curva vai tomando e depois ligar os pontinhos, beleza?

Pra reta vale o mesmo raciocínio. Mas, plotar uma reta na mão é beeeeeem mais de boas e nesse caso aí é só fazer uma reta cortando o eixo y em y = 3 e com inclinação igual a 2 .

Dito isso, nossa curva e nossa reta ficam:

Resposta

y = 2 x + 3

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