Enunciado

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

7. x = s e c t ,   y = t g   t ,   t = π / 6

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de curvas paramétricas, não é? Bora lá!

Nesse tipo de questão, nós vamos sempre seguir o mesmo roteiro: começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em t = π / 6 , nós temos o ponto

x = s e c t = 2 3

e

y = t g   t = 1 3

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 2 3 , 1 3 ) .

Passo 3

Nesse passo vamos calcular a equação para a reta tangente. Para isso, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = t g   t   s e c t

d y d t = s e c 2 t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = s e c 2 t t g   t   s e c t = s e c   t t g   t = c s c   t

Agora, podemos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 2 3 , 1 3 ) . Para isso, precisamos do coeficiente angular no ponto, que é c s c   t | t = π / 6 = 2 :

y - 1 3 = 2 ⋅ ( x - 2 3 )

⇒ y - 1 3 = - 4 3 + 2 x

⇒ y = 2 x - 3 3 = 2 x - 3

Passo 4

Por último, mas não menos importante, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = c s c   t = - c s c   t   c o t   t

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = - c s c   t   c o t   t t g   t   s e c t = - c s c   t   c o t   t t g   t   s e c t = - c o t 3   t

Aplicando no ponto t = π / 6 , nós temos

d 2 y d x 2 = - c o t 3   t | t = π / 6 = - 3 3

E aí, gostou? Nos vemos na próxima!

Resposta

y = 2 x - 3

d 2 y d x 2 = - 3 3

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