Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 14
Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?
Passo 1
A derivada primeira da curva é dada por
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Passo 2
Vamo começar pela derivada de :
Agora a derivada de :
Substituindo na fórmula
Passo 3
Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:
Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Já temos tudo, então agora é só substituir.
Passo 5
Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, temos que ter
O numerador é positivo se e negativo se , enquanto que o denominador é positivo se e negativo se . Essa expressão será positiva quando o numerador e o denominador tiverem sinais iguais.
Isso acontece quando e .
Então podemos concluir que a concavidade da curva é para cima quando ou.
Resposta
A concavidade da curva é para cima quando .