Enunciado

Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhuma das laterais? Esboce o gráfico de f .

f x = x 2 ,       s e   x < - 1 x ,       s e - 1 ≤ x < 1 1 x ,       s e   x ≥ 1

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo certinho com você?

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = x 2 ,       s e   x < - 1 x ,       s e - 1 ≤ x < 1 1 x ,       s e   x ≥ 1

Temos que f é contínua nos intervalos - ∞ , - 1 , ( - 1,1 ) e ( 1 , ∞ ) , onde temos, respectivamente, duas funções polinomiais e uma racional.

Isso significa que só precisamos checar os pontos x = - 1 e x = 1 . Pra isso, precisamos lembrar qual é a condição pra continuidade de uma função. A função vai ser contínua se os limites laterais forem iguais entre si e iguais ao valor da função. Ou seja:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = f a

Então vamos precisar calcular os dois limites laterais em cada caso. Vamos ver como fazer isso juntos!

Passo 2

Vamos começar analisando x = - 1 . Primeiro com o limite lateral pela esquerda:

lim x → - 1 - ⁡ f x

Como estamos nos aproximando pela esquerda, isso significa que x é menor do que - 1 , ou seja:

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 2

Aplicando o limite, temos:

lim x → - 1 - ⁡ x 2 = lim x → - 1 - ⁡ - 1 2 →

→ lim x → - 1 - ⁡ f x = 1

Agora vamos calcular o limite pela direita no mesmo ponto.

lim x → - 1 + ⁡ f x

Seguindo o mesmo raciocínio do limite anterior, como estamos nos aproximando pela direita, temos que x é maior que - 1 . Então podemos dizer que:

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ x

Vamos agora aplicar o limite:

lim x → - 1 + ⁡ x = - 1 →

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = - 1

Agora olha só. Descobrimos que os limites laterais em x = - 1 são diferentes entre si. Logo, sabemos que f é descontínua no ponto x = - 1 .

Pra terminar, vamos calcular o valor da função no ponto x = - 1 :

f - 1 = x → f - 1 = - 1

Olha só esse detalhe. Como temos que f - 1 = - 1 , f é contínua pela direita em x = - 1 .

Passo 3

Agora, vamos checar o ponto x = 1 . Primeiro analisando pela esquerda. Lembre-se que pela esquerda, x é menor do que 1 .

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x = 1

Legal. Agora pela direita. Lembrando que, nesse caso, x é maior que 1 .

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ 1 x

Aplicando o limite, temos:

lim x → 1 + ⁡ 1 x = 1 1 →

→ lim x → 1 + ⁡ f x = 1

Olha só. Os limites laterais são iguais. Pra batermos o martelo em dizer que a função é contínua só precisamos checar o valor da função:

f 1 = 1 x → f 1 = 1

Como temos os dois limites laterais iguais ao valor da função, então f é contínua no ponto x = 1 .

Passo 4

Pra fechar, vamos fazer um esboço do gráfico. Lembre-se de como ela se comporta em cada intervalo:

f x = x 2 ,       s e   x < - 1 x ,       s e - 1 ≤ x < 1 1 x ,       s e   x ≥ 1

O gráfico vai ficar assim:

Resposta

D e s c o n t í n u a   e m   x = - 1

C o n t í n u a   p e l a   d i r e i t a   e m   x = - 1

C o n t í n u a   e m   x = 1

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