Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

1 0 )   h x = x - 1 x 2 - x - 12 x 2 - 5 x + 4

Passo 1

A primeira coisa que vamos notar aqui é que o denominador é um polinômio de segundo grau. Logo, fazendo Bháskara:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Como temos x 2 - 5 x + 4 ...

x 1,2 = 5 ± 25 - 4.4 2 = 5 ± 25 - 16 2 = 5 ± 9 2

x 1,2 = 5 ± 3 2 = 5 + 3 2 = 8 2 = 4 5 - 3 2 = 2 2 = 1

Beleza, reescrevemos então a função para:

h x = x - 1 x 2 - x - 12 x - 1 x - 4

Passo 2

A gente pode continuar nessa vibe de reescrever a função e olhar pro polinômio de segundo grau no numerador e fazer Bháskara de novo. Pegando x 2 - x - 12 ...

x 1,2 = 1 ± 1 + 4 . 12 2 = 1 ± 1 + 48 2 = 1 ± 49 2

x 1,2 = 1 ± 7 2 = 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 - 7 2 = - 6 2 = - 3

E logo:

h x = x - 1 x - 4 x + 3 x - 1 x - 4

Passo 3

Pra gente ver onde a função é descontínua, temos que procurar pontos que “dão problema”. Pô, não da pra dividir nada por zero, né não? Sendo assim em:

h x = x - 1 x - 4 x + 3 x - 1 x - 4

Temos dois candidato a pontos problemáticos: o x = 1 e o x = 4 , já que são pontos que zeram o denominador. Note que apesar dos limites...

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 4 x + 3 x - 1 x - 4 = lim x → 1 ⁡ x + 3 = 4

lim x → 4 ⁡ x - 1 x - 4 x + 3 x - 1 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x + 3 = 7

...existirem, nem h 1 nem h 4 estão definidos. Logo a função é descontínua nesses pontos.

Passo 4

Pra esboçar a gente pode cortar em cima e em baixo o que está em comum:

h x = x - 1 x - 4 x + 3 x - 1 x - 4 = x + 3

Basta esboçarmos a reta x + 3 e não marcarmos os pontos x = 1 e x = 4 já que não estão definidos:

Resposta

Não definido em x = 1 e x = 4 .

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