Enunciado

Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x .

x = 2 y 2 ,     y ≥ 0 ,     x = 2 ,     s o b r e   x = 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que calculemos o volume sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x :

x = 2 y 2 ,     y ≥ 0 ,     x = 2 ,     s o b r e   x = 2

Para isso, a questão quer que utilizemos o método de cascas cilíndricas.

Mas que método é esse??

Bom... basicamente o volume V de um sólido de rotação por esse método é dado por:

V = ∫ a b 2 π ⋅ y ⋅ g y d y

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Nesse caso, a casca vai ser dada por ( 2 - y ) de raio e altura será dada por 2 - 2 y 2 .

Dessa forma, nosso volume vai ser dado por:

V = ∫ 0 1 2 π ⋅ 2 - y ⋅ 2 - 2 y 2 d y ∴

V = 4 π ∫ 0 1 2 - y ⋅ 2 - 2 y 2 d y ∴

V = 4 π ⋅ ∫ 0 1 y 3 - 2 y 2 - y + 2 d y ∴

V = 4 π ⋅ y 4 4 - 2 y 3 3 - y 2 2 + 2 y 0 1 ∴

V = 13 π 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

13 π 3

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Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 32 – A região limitada por y =x
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