Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

14 )   f x = x - 1 ,   s e   x < 1 1 ,     s e   x = 1 1 - x ,     s e   1 < x

Passo 1

Olha só! Uma função definida por partes! Olha, pra uma função dessas ser contínua, tem que ser válido:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = f a

E isso pra qualquer a que a gente escolha. Mas relaxa que não precisamos testar todos os a possíveis. Como a função só muda de lei de formação em a = 1 , fazemos:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

lim x → 1 - ⁡ x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x = 1

0 = 0 = 1

E opa, tem algo errado aí! Não da pra 0 = 1 ser uma verdade. Sendo assim a função é descontínua em x = 1

Passo 2

Agora ta na hora de esboçar. Pra isso note que x - 1 e 1 - x são retas, mas que não estão definidas em x = 1 . Pra esse ponto temos f 1 = 1 . Beleza, então basta desenhar essas retas e tirar o ponto 1,0 , comum às duas retas, e adicionar o ponto 1,1 , dado pela lei de formação:

Resposta

Função não é contínua em x = 1 .

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17-40 Encontre os limites.27- lim x → 0 ⁡ t g 7 x s e n 3 x
No Exemplo 5, usamos o Teorema do Confronto para provar que: lim x → 0 ⁡ x . s e n1 x = 0 Por que não poderíamos ter obtido esse mesmo resultado escrevendo: lim x → 0 ⁡ x . s e n1 x = lim x → 0 ⁡ x .
Esboce os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , onde f é uma função qualquer que satisfaz a desigualdade: 1 - x 2 ≤ f x ≤ cos ⁡ x Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 . O que você pode diz
57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.59. lim x → 0 ⁡ a r cs e n5 x x
57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.58. lim x → 0 ⁡ a r ct gx x