Enunciado

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = x x 2 + 1 ,     0,2

Passo 1

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Então

f ' x = x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 2 = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

Igualando a zero

- x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 0

Primeiramento, igualamos o numerador a zero

- x 2 + 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Se o denominador for igual a zero, teremos que f ' ( x ) não estará definido, então também teremos um número crítico, logo, igualando o denominador a zero, ficamos com

x 2 + 1 2 = 0

x 2 + 1 = 0

x 2 = - 1

x = ± - 1

Logo, o denominador nunca será igual a zero no domínio dos números reais.

Passo 2

Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f 0 ,   f 1   e   f 2 . Note que f ( - 1 ) não será calculado pois ele não está dentro do intervalo dado. Então

f 0 = 0

f 1 = 1 2

f 2 = 2 5

Com isso, podemos ver que f 1 = 1 / 2 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = 0 é um ponto de mínimo absoluto.

Resposta

f 1 = 1 / 2 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = 0 é um ponto de mínimo absoluto.

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Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pont
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Dada f x = x 2 + r x - 1 , prove que, independente do valor de r , f tem um valor mínimo relativo, mas não tem valor máximo relativo.
Dada f x = x r - r x + k , onde r0 e r ≠ 1 , prove que a ) se 0r1 , f tem valor máximo relativo em 1 b ) se r1 , f tem valor mínimo relativo em 1 .