Enunciado

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = ln ⁡ x 2 + x + 1 ,     [ - 1,1 ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a questão quer os pontos críticos da função dentro do intervalo [ - 1,1 ] .

Números críticos são os pontos no domínio em que uma das seguintes opções é verdadeira: (1) A derivada é 0. (2) O derivado não existe/não está definido.

Iremos avaliar o valor de f ( x ) em cada um dos pontos críticos e também nos pontos extremos. Entre estes, o valor máximo de f ( x ) é o máximo absoluto. E, o valor mínimo de f ( x ) é o mínimo absoluto. Note que haverá apenas um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Além disso, observe que tudo isso é verdade apenas quando os intervalos são fechados.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Os pontos críticos de f ( t ) são os valores de t nos quais f ' ( t ) não existe, ou, se existir, é igual a zero.

Então utilizando a regra da cadeia para derivar:

f ' x = 1 x 2 + x + 1 ∙ d d x x 2 + x + 1

f ' x = 2 x + 1 x 2 + x + 1

Igualando a zero

2 x + 1 x 2 + x + 1 = 0

No numerador

2 x + 1 = 0

x = - 1 2

Se o denominador for igual a zero, teremos que f ' ( x ) não estará definido, então também teremos um número crítico, logo, igualando o denominador a zero, ficamos com

x 2 + x + 1 = 0

Pela fórmula de Baskara

∆ = 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = - 3

Como ∆ < 0 essa equação não apresenta uma raiz real, então, no domínio dos números reais, o denominador de f ' ( x ) nunca será zero.

Passo 3

Para encontrar os valores máximos/mínimos absolutos em um intervalo fechado, avalie os valores funcionais nos números críticos, bem como nos pontos finais. Dentre esses valores, o máximo/mínimo corresponderá ao máximo/mínimo absoluto respectivamente.

Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f - 1 ,     f - 1 2   e   f ( 1 ) . Então

f - 1 ≈ 0

f - 1 2 ≈ - 0,29

f 1 ≈ 1,1

Com isso podemos ver que f 1 ≈ 1,1 é um ponto de máximo absoluto e f - 1 2 ≈ - 0,29 é um ponto de mínimo absoluto.

Visualizando o gráfico da função abaixo que criamos com o GeoGebra, podemos ver que estamos certos:

Resposta

f 1 ≈ 1,1 é um ponto de máximo absoluto e f - 1 2 ≈ - 0,29 é um ponto de mínimo absoluto.

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