Enunciado

Se a e b são números positivos, ache o valor máximo de

f x = x a 1 - x b ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Note que aqui o que a questão quer da gente são os pontos críticos.

Os pontos críticos de uma função são os valores de x nos quais a derivada da função é igual a zero ou não está definida.

Primeiramente, derivamos a função f e igualamos a zero, para encontrar o ponto de máximo, e com a > 0 e b > 0 .

Passo 2

Então, derivando utilizando a regra do produto e a regra da cadeia:

f ' x = a x a - 1 1 - x b + x a b 1 - x b - 1 ⋅ ( - 1 )

f ' x = x a - 1 1 - x b - 1 1 - x ⋅ a + x ⋅ b ( - 1 )

f ' x = x a - 1 1 - x b - 1 a - a x - b x

Igualando a zero

x a - 1 1 - x b - 1 a - a x - b x = 0

Pelo princípio da multiplicação por zero, temos que ou

x a - 1 = 0

x = 0

Ou

1 - x b - 1 = 0

1 - x = 0

x = 1

Ou

a - a x - b x = 0

a - x a + b = 0

a = x a + b

x = a a + b

Passo 3

Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:

O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

1-      Encontre os valores de f  nos extremos do intervalo.

2-      Encontre os valores de f  nos números críticos de f em [a,b].

3-      O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Necessitamos calcular então:

f 0 ,   f 1   e   f a a + b

Então

f 0 = 0

f 1 = 0

Agora, calcularemos a parte f a a + b

f a a + b = a a + b a 1 - a a + b b = a a a + b a a + b - a a + b b = a a a + b a b a + b b

= a a a + b a ⋅ b b a + b b = a a ⋅ b b a + b a + b

Com isso, podemos ver que

f a a + b = a a ⋅ b b a + b a + b

É um ponto de máximo absoluto, pois como a , b > 0 . Então esse ponto é o valor máximo da função.

Resposta

O valor máximo é

a a ⋅ b b a + b a + b

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Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum. f x = 4 x 2 - 2 x + 1 - ∞ , ∞
Ache os números críticos da função dada. g x = sec 2 ⁡ 3 x
Ache os números críticos da função dada. f x = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 - 12 x
Ache os números críticos da função dada. f t = t 5 / 3 - 3 t 2 / 3
Ache os números críticos da função dada. f x = x 3 + 7 x 2 - 5 x