Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 63
Se e são números positivos, ache o valor máximo de
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Note que aqui o que a questão quer da gente são os pontos críticos.
Os pontos críticos de uma função são os valores de nos quais a derivada da função é igual a zero ou não está definida.
Primeiramente, derivamos a função e igualamos a zero, para encontrar o ponto de máximo, e com e .
Passo 2
Então, derivando utilizando a regra do produto e a regra da cadeia:
Igualando a zero
Pelo princípio da multiplicação por zero, temos que ou
Ou
Ou
Passo 3
Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:
O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:
1- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
2- Encontre os valores de f nos números críticos de f em [a,b].
3- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Necessitamos calcular então:
Então
Agora, calcularemos a parte
Com isso, podemos ver que
É um ponto de máximo absoluto, pois como . Então esse ponto é o valor máximo da função.
Resposta
O valor máximo é
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