Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f x = ln ⁡ x x                           ;       [ 1 , 3 ]

Passo 1

Primeiro, precisamos entender o que é um valor de máximo e mínimo absolutos. É o seguinte: um valor máximo absoluto é quando um número f ( c ) é maior que f ( x ) . Da mesma forma, um valor mínimo absoluto é quando f ( c ) é menor que f ( x ) . Belezinha??

Vamos lá resolver!!

Usando a regra do quociente, temos

Lembrando que a regra é essa aqui hein: f ' x = f g = f ' g - g ' f g 2 :D

f ' ( x ) = x ( 1 x ) - ln ⁡ x x 2

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

Como o denominador não pode ser zero, então analisamos o ( 1 - ln ⁡ x ) , temos:

1 - ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = 1

x = e 1           ∴           x = e

Aplicamos os valores do intervalo na função, logo:

f 1 = ln ⁡ 1 1 = 0

f e = ln ⁡ e e = 1 e

f 3 = ln ⁡ 3 3

Com isso, temos que o nosso valor máximo absoluto é f e = 1 e e o nosso mínimo absoluto é f 1 = 0 . Showw né?

Resposta

Valor máximo absoluto: f e = 1 e , valor mínimo absoluto: f 0 = 0 .

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