Enunciado

Uma prancha é usada para escorar um muro e deve passar por cima de uma cerca de 8   p é s de altura e a 1   p é do muro (Figura Ex-50). Qual é o comprimento da menor escora que pode ser usada? [Sugestão: Expresse o comprimento da escora em termos do ângulo θ mostrado na figura].

Passo 1

Então pessoal, antes de começarmos com os cálculos de fato devemos prestar atenção em uma coisinha na figura. Vamos chamar o tamanho da escora de L , ok? Pela figura temos um comprimento L 1 que vai até 1   p é de distância do muro e um outro comprimentozinho L 2 que é o restante até chegar ao muro. Em outras palavras, temos:

L = L 1 + L 2

Show! A sugestão do enunciado é que expressemos o comprimento L que acabamos de escrever em termos de θ , então vamos fazer isso!

Passo 2

Para o triângulo formado com L 1 , temos:

s e n   θ = 8 L 1

∴ L 1 = 8 s e n   θ = 8 csc ⁡ θ

E para o triângulo formado com L 2 , temos:

cos ⁡ θ = 1 L 2

∴ L 2 = 1 cos ⁡ θ = sec ⁡ θ

Substituindo na expressão de L , teremos:

L θ = 8 csc ⁡ θ + sec ⁡ θ

Ok, expressamos L em função do ângulo da escora.

Passo 3

Como estamos interessados em saber o comprimento da menor escora que pode ser usada, então estamos falando de ponto de mínimo, certo? Utilizando as noções de cálculo, teremos:

d L d θ = - 8 csc ⁡ θ . cot ⁡ θ + sec ⁡ θ . tan ⁡ θ

Em termos de seno e cosseno:

d L d θ = - 8 cos 3 ⁡ θ + s e n 3   θ s e n 2   θ . cos 2 ⁡ θ

Igualando nossa derivada a zero:

- 8 cos 3 ⁡ θ + s e n 3   θ s e n 2   θ . cos 2 ⁡ θ = 0

Isso só será zero se:

- 8 cos 3 ⁡ θ + s e n 3   θ = 0

s e n   θ = 2 cos ⁡ θ

tan ⁡ θ = 2

Ok, encontramos nosso ângulo de minimização!

Passo 4

Desse valor de mínimo que encontramos tiramos que:

csc ⁡ θ = 5 2

sec ⁡ θ = 5

Sendo assim, o comprimento da menor escora será:

L θ = 8 csc ⁡ θ + sec ⁡ θ

L = 8 5 2 + 5

∴ L = 5 5   p é s

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

L = 5 5   p é s

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