Enunciado

Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

∑ n = 1 ∞ x - 4 n  

Passo 1

Este é um caso de uma quase série geométrica, para que seja geométrica tem que estar na forma

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Para isso basta que manipulemos um pouco. O interessante é que para essas séries nós sabemos que elas só convergem para r < 1 e que se convergir, sua soma é

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.

Passo 2

Primeiramente para que esta seja uma série geométrica, vamos tirar um termo do parênteses para diminuirmos 1 do expoente.

∑ n = 1 ∞ ( x - 4 ) x - 4 n - 1

Agora temos uma série geométrica.

Passo 3

Sabemos que para uma série geométrica convergir, r < 1 e para este caso r = x - 4 , logo

x - 4 < 1

Neste caso teremos que analisar valores onde x - 4 > 0 e x - 4 < 0 , para acharmos o intervalo de convergência.

Para x - 4 < 0 , o que está dentro do módulo é negativo e temos que cancelar o menos, para termos o valor em módulo

- x - 4 < 1

- x + 4 < 1

Subtraindo 4 dos dois lados

- x < - 3

Se multiplicarmos por - 1 , temos que inverter o sinal, então

x > 3

Para x - 4 > 0

x - 4 < 1

Somando 4 dos dois lados

x < 5

Portanto o intervalo é 3 < x < 5 , ou x ∈ ( 3,5 ) .

Passo 4

Então, para esses valores de r a soma vale

∑ n = 1 ∞ ( x - 4 ) x - 4 n - 1 = x - 4 1 - ( x - 4 ) = x - 4 5 - x

Resposta

x ∈ 3,5

∑ n = 1 ∞ x - 4 n = x - 4 5 - x

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