Enunciado

Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

∑ n = 0 ∞ x + 3 n 2 n  

Passo 1

Este é um caso de uma série geométrica da forma

∑ n = 0 ∞ a r n

O interessante é que para essas séries nós sabemos que elas só convergem para r < 1 e que se convergir, sua soma é

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.

Passo 2

Sabemos que para uma série geométrica convergir, r < 1 e para este caso r = ( x + 3 ) / 2 , logo

x + 3 2 < 1

Podemos tirar o 2 do módulo

x + 3 2 < 1

x + 3 < 2

Neste caso teremos que analisar valores onde x + 3 > 0 e x + 3 < 0 , para acharmos o intervalo de convergência.

Para x + 3 < 0 , o que está dentro do módulo é negativo e temos que cancelar o menos, para termos o valor em módulo

- x + 3 < 2

- x - 3 < 2

Somando 3 dos dois lados

- x < 5

Se multiplicarmos por - 1 , temos que inverter o sinal, então

x > - 5

Para x + 3 > 0

x + 3 < 2

Subtraindo 3 dos dois lados

x < - 1

Portanto o intervalo é - 5 < x < - 1 , ou x ∈ ( - 5 , - 1 ) .

Passo 3

Então, para esses valores de r a soma vale

∑ n = 0 ∞ x + 3 n 2 n = 1 1 - x + 3 2 = 2 2 - x + 3

∑ n = 0 ∞ x + 3 n 2 n = 2 - x - 1

Podemos ainda colocar o - 1 em evidencia

∑ n = 0 ∞ x + 3 n 2 n = - 2 x + 1

Resposta

x ∈ ( - 5 , - 1 )

∑ n = 0 ∞ x + 3 n 2 n = - 2 x + 1

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