Enunciado

Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.

∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de p que tornam a série convergente?

Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral a n da nossa série com uma função f ( x ) da seguinte forma:

a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p ↔ f x = 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p

Para isso, vamos calcular a seguinte integral imprópria:

∫ 3 ∞ f ( x ) d x = ∫ 3 ∞ d x x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t d x x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = ln ⁡ x e d u = d x x :

∫ d x x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p = ∫ d u u ln ⁡ u p

Continuamos com uma integral meio complicadinha de se resolver.

Vamos usar outra substituição v = ln ⁡ u e d v = d u u :

∫ d u u ln ⁡ u p = ∫ d v v p

Então, pessoal....Poderíamos continuar a fazer todas as contas que ainda faltam, mas vamos ser espertos(as) e pensar um pouco.

Aquela última integral na qual chegamos é a mesma que usaríamos para testar a convergência de uma p-série, certo?

Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série original:

p > 1 → ∫ d v v p   c o n v e r g e → ∴ ∫ d u u ln ⁡ u p c o n v e r g e → ∴ ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p   c o n v e r g e p < 1 → ∫ d v v p   d i v e r g e → ∴ ∫ d u u ln ⁡ u p d i v e r g e → ∴ ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p   d i v e r g e

Resposta

∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p   é convergente para   p > 1

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