Enunciado

3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

3. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Passo 1

Chamando f x = x - 1 5 , para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ x - 1 5 d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x - 1 5 d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 2

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 1 t x - 1 5 d x = 5 x 4 5 4 t 1

∴ ∫ 1 t x - 1 5 d x = 5 t 4 5 4 - 5 4

Aplicando o limite:

l i m t → ∞ 5 t 4 5 4 - 5 4 = ∞

Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 5   é   d i v e r g e n t e

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