Enunciado

Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 :

ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.

a) ∑ n = 2 ∞ 1 n 2

Passo 1

A série que o enunciado nos dá é praticamente a mesma utilizada por Euler, assim como a própria questão informa. A diferença entre as duas é que uma começa em n = 1 e a outra em n = 2 . Começando em n = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Então se queremos saber com n = 2 , basta subtraírmos o valor da série em n = 1 , não é verdade? Sendo assim, teremos:

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 = π 2 6 - 1 1 2

∴ ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 = π 2 - 6 6

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 = π 2 - 6 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1
Determine se a série é convergente ou divergente. 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + …
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 4
Determine se a série é convergente ou divergente. 1 5 + 1 8 + 1 11 + 1 14 + 1 17 + …