Enunciado

Encontre os vértices e os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce o seu gráfico.

22. 9 x 2 - 4 y 2 = 36

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma hipérbole, para encontrarmos seus vértices, focos e assíntotas.

Observe que como não temos nenhum número somando ou subtraindo do   x 2 e do y 2 podemos dizer que a hipérbole é centrada na origem.

A equação geral de uma hipérbole centrada na origem é x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , mas veja que na equação dada nós não temos nenhum número embaixo do x e do y , nem 1 do lado direito. Para deixar ela mais parecida com a equação da hipérbole que estamos acostumados vamos dividir ambos os lados por 36 , assim:

9 x 2 36 - 4 y 2 36 = 1

x 2 4 - y 2 9 = 1

Show! Agora podemos usar essa equação para encontrar o que foi pedido.

O foco de uma hipérbole desse tipo é dado por f = ( ± a 2 + b 2 , 0 )

Como nossa equação x 2 4 - y 2 9 = 1 , temos que f = ( ± 13 , 0 )

Passo 2

Os vértices de uma hipérbole centradas na origem são: V = ( ± a , 0 )

Então, V = ( ± 2 , 0 )

Passo 3

As assíntotas da hipérbole podem ser encontradas por y = ± a b x . Neste caso temos y = ± 3 2 x .

Viu? Apesar do nome “assíntota da hipérbole” parecer assustador, no fim é uma coisa bem simples, nada de sofrer sem precisar.

Passo 4

Juntando todas essas informações, podemos fazer o esboço da hipérbole:

Resposta

f = ( ± 13 , 0 )

V = ( ± 2 , 0 )

y = ± 3 2 x

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